domingo, 1 de noviembre de 2009

Números Perfectos

Los números enteros son una usina generadora de problemas interesantes. Y muchos de ellos siguen abiertos, en el sentido de que aún no se conoce su solución. Aquí voy a exponer uno de esos problemas.
Pitágoras y sus discípulos creían que los números contenían la esencia de todo, y les ponían género también. Por ejemplo, decían que los números pares eran femeninos. En esta oportunidad, me voy a ocupar de los que llamaron números perfectos.
Antes que nada, los números que voy a usar en este tramo son los que se denominan números naturales, los que uno conoce porque los usamos todos los días: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, etcétera.
Tomemos ahora un número natural cualquiera, digamos el 12. ¿Cuántos números lo dividen exactamente? Es decir, ¿en cuántas partes se puede dividir el 12 sin que sobre nada?
La respuesta es (espero que lo haya resuelto solo antes):
1, 2, 3, 4, 6 y 12
Si divido 12 por el número 1, obtengo 12 y no sobra nada. Si divido 12 por 2, obtengo 6 y no sobra nada. Si divido 12 por 3, obtengo 4 y no sobra nada. Si divido 12 por 4, obtengo 3 y no sobra nada…
Pero si dividiera el número 12 por 5, el resultado no sería un número natural, sino 2,4. En este sentido, podemos decir que el número 12 no es divisible exactamente por 5, pero sí por 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Justamente, estos números son los divisores del 12.7
Ya sabemos entonces cuáles son los divisores de un número natural. Como se dará cuenta, el número 1 es siempre divisor de cualquier número. Y también es cierto que el propio número es siempre divisor de sí mismo.
Ahora bien. Volvamos al número 6. ¿Qué divisores tenía?
Como vimos:
1, 2, 3 y 6
Si excluimos al propio número, es decir, si excluimos al 6, entonces los divisores son: 1, 2 y 3. A éstos se los llama divisores propios.
Si los sumamos obtenemos:
1 + 2 + 3 = 6
Es decir que si uno suma los divisores propios, en este caso obtiene el número de partida.
Tomemos otro ejemplo; el número 10.
Los divisores propios del 10 (es decir, los que no lo incluyen)
son:
1, 2 y 5
Si uno los suma:
1 + 2 + 5 = 8
en este caso, la suma de los divisores no permite obtener el número original.
Tomemos otro número. Los divisores propios del 12:
1, 2, 3, 4 y 6
Si uno los suma, tiene:
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
Otra vez se obtiene un número distinto del de partida. La suma de los divisores no reproduce el número original.
Cabe entonces preguntarse si es el 6 el único ejemplo, o si hay otros. A los números que, como el 6, cumplen con la propiedad de que la suma de sus divisores propios reproduce el número original, se los llama perfectos. El número 6 que encontramos, ¿habrá sido una casualidad?
¿Será el único? (Invito al lector a seguir probando solo. Busque otros números perfectos.)
Analicemos ahora el número 28. El 28 tiene como divisores (excluyéndolo a él mismo) a 1, 2, 4, 7, 14
Y la suma da:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Luego, el 28 ¡es un número perfecto!
Por fortuna, entonces, el 6 no es el único. En todo caso, es el primer número perfecto entre los naturales. Ya sabemos que hay otro más: el 28, entre ellos.
Lo invito a descubrir que ningún número entre 6 y 28 es perfecto. Es decir, el número 28 es el segundo número perfecto. Acá aparecen algunas preguntas que son naturales:
• ¿Habrá un tercero?
• Si lo hay, ¿cuál es?
• ¿Cuántos números perfectos hay?
• ¿Hay alguna manera de encontrar todos los números perfectos?
Ahora, algunas respuestas. Y digo algunas no sólo porque en este texto no cabrían todas (ni mucho menos), sino porque hay algunas respuestas que aún no se conocen.
Avancemos un poco más.
El número 496 tiene como divisores propios a
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248
Luego, si uno los suma, obtiene:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Hemos descubierto otro número perfecto: ¡el 496!
Un par de cosas más. Se sabe (y usted puede confirmarlo haciendo las cuentas pertinentes) que entre el 28 y el 496 no hay ningún otro número perfecto. Es decir que el 496 es el tercer número perfecto que aparece. Eso sí: hay que “caminar” bastante, para encontrar el cuarto... El número 8.128 es perfecto también. Las comprobaciones no son difíciles de hacer pero hace falta tener paciencia y una calculadora a mano.
8.128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254+ 508 + 1.016 + 2.032 + 4.064
Hasta acá sabemos, entonces, que los primeros números perfectos son 6, 28, 496 y 8.128.
Otros datos interesantes:
a) un manuscrito del año 1456 (¡!) determinó que el 33.550.336 es el quinto número perfecto.
b) Hasta hoy, octubre de 2006, no se conocen números perfectos que sean impares.
c) El número perfecto más grande que se conoce es: 232582657 . (232582657 – 1)
Los griegos estuvieron siempre preocupados y dedicados a descubrir números perfectos, y también escribieron mucho sobre ellos. En el último volumen del libro Elementos, de Euclides (el más leído después de la Biblia), se encuentra la siguiente afirmación:
Si n es un número entero positivo y (2n – 1) es primo, entonces el número
2(n-1) . (2n – 1)*
es perfecto.
Por ejemplo:
Para n = 2, se obtiene:
2(2-1) . (22 – 1) = 2 . 3 = 6
Para n = 3, se obtiene:
2(3-1) . (23 – 1) = 4 . 7 = 28
Para n = 5, se obtiene:
2(5-1) . (25 – 1) = 496
Esto es muy interesante, porque quiere decir que Euclides encontró una manera de descubrir los números perfectos.
Para n = 7, se obtiene:
2(7-1) . (27 – 1) = 64 . 127 = 8.128
Uno siente la tentación de probar ahora con el próximo primo, el que le sigue a 7. Es decir, la tentación de intentarlo para
n = 11:
2(11-1) . (211 – 1) = 2.096.128
Y este número no es perfecto.
* Uno de los matemáticos más grandes de la historia, el suizo Leonhard Euler
(1707-1783), demostró que todos los números perfectos pares son los de esta forma.
El problema radica en que el número (211 – 1) = 2.047 ¡no es primo!
En realidad, 2.047 = 89 . 23.
Luego, el hecho que 2.096.128 no sea perfecto no vulnera lo que había dicho Euclides. Sin embargo, vale la pena seguir un poco más.
Si uno aplica la fórmula al siguiente primo, o sea, el número 13, se obtiene:
2(13-1) . (213 – 1) = 33.550.336
y este número sí es perfecto.
Marin Mersenne es un matemático francés que probó en 1644 que los primeros trece números perfectos son de la forma que acabamos de ver para
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127 y 157
En resumen:
a) Los primeros números perfectos son:
6, 28, 496, 8.128, 33.550.336, 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128
Con la ayuda de computadoras, se encontraron números perfectos para los siguientes n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1.279, 2.203, 2.281, 3.217, 4.253,
4.423, 9.689, 9.941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243, 110.503, 132.049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787 y 1.398.269.
b) Dado cualquier número n, si (2n – 1) es primo, entonces el número 2(n-1) . (2n – 1) es perfecto.
c) La fórmula anterior provee todos los números perfectos pares.
d) Hasta hoy no se conocen números perfectos impares. ¿Habrá?
Se han probado con todos los números hasta 10300, es decir, un 1 con trescientos ceros después, y no se encontró ningún número perfecto impar. Se duda de que existan,
pero aún no hay una demostración.
e) ¿Habrá infinitos números perfectos?
La bibliografía en este tema es amplísima. Este capítulo sólo estuvo dedicado a la presentación en sociedad de los números perfectos. Y para mostrar que la matemática
tiene aún muchísimos problemas abiertos. Éste es sólo uno de ellos.

A D R I Á N P A E N Z A

M AT E M Á T I C A … ¿ E S T Á S A H Í ? E P I S O D I O 2

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